读易悟道

老夏 · 发表于 2021-1-18 10:05:29

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悟道十年，作文两篇。向乡亲们汇报一下、请指教！

老夏 · 发表于 2021-1-18 10:07:02

河图、洛书的传承途径考

摘　要：仔细梳理河图、洛书在古文献及考古材料中的出处，发现先秦文献中只有河图名称；河图内容、洛书名称和内容均出于西汉初期。辨析八卦与河图、洛书的关系，证明河图、洛书并不存在不同版本，二者与八卦间也没有演化关系，河图、洛书的内容是确定的。在此基础上分析周秦及秦汉间的文化传承，得到河图、洛书的两条传承途径：一条是经由周、秦至西汉朝廷的官方传承；另一条是经由卢生、谶纬学说至陈抟的民间传承。
关键词：河图；洛书；传承途径

关于河图、洛书的真伪，一方面许多人认为它们是中华民族的文明之源，先秦及两汉的许多文献都有记载，之后还有许多人研究过它们，只是至今未能给出其完整的传承途径，亦未能完全合理地解读其内涵。另一方面由于自西汉中晚期兴起的，以河图、洛书为核心的谶纬学说将河图、洛书吹嘘得神乎其神，从而自北宋开始就有人怀疑河图、洛书的真实性。清朝时有学者通过研究，证实最早记载河图的《尚书》有一部分是后人伪造的，从而动摇了人们对传统文化的信任；民国时期的疑古派，不仅怀疑河图、洛书的真实性，还怀疑许多古文献的真实性，甚至于整个古史体系的真实性。这两方面因素共同促成人们视河图、洛书为神话及传说，而不将它们作为历史对待了。所以河图、洛书的真实性问题，不仅仅是一个学术问题，还关乎我们的历史认同、文化和信仰等。本文试全面梳理河图、洛书的传承途径，迈出证明其真实性的第一步，希望借此抛砖引玉，吸引更多人参与研究，把中华文明的探源工作推向前进。
一、对三个基础性问题的考证
河图、洛书在古文献及考古材料中的出处，是确定其真实性的关键，这里为方便考证将其细化为名称的出处和内容的出处两个问题。河图、洛书与八卦的关系问题，也是人们怀疑河图、洛书真实性的原因之一，它的存在让人怀疑河图、洛书内容的确定性。所以这三个问题是考证河图、洛书传承途径的前提和基础，现分别考证如下：
（一）河图、洛书名称的出处
记载河图名称的早期文献。《尚书•顾命》有“大玉、夷玉、天球、河图在东序”的记载；《论语•子罕》有“凤鸟不至，河不出图，吾已矣夫” 的记载；《墨子•非攻》有“河出绿图，地出乘黄，武王践功”的记载。此三者均属较可靠的先秦文献。
《易•系辞》有“天垂象，见吉凶，圣人象之；河出图，洛出书，圣人则之”，这是载有洛书名称的文献中流传最广、也往往被认为是最早的。因《史记•孔子世家》中的“孔子晚而喜易，序《彖》《系》《象》《说卦》《文言》”[1]《孔子世家》而一度被认为是孔子（前551—前479年）及其弟子的作品，但研究表明《易传》各部分的成文时间各不相同，研究者们大多认可《易传》早期作品的成文时间介于战国末期至西汉初期，这里以洛书为切入点，更精确地确定这一时间。
首先，因为《论语》等先秦文献均未记载洛书，说明诸如孔子之类的先秦民众有可能不知道洛书的存在；其次，《汉书•儒林传》中有“及秦禁学,《易》为筮卜之书,独不禁,故传受者不绝也。汉兴，田何以齐田徙杜陵，号杜田生，授东武王同子中、洛阳周王孙、丁宽、齐服生，皆著《易传》数篇”[2]《儒林传》,说明田何（生卒不详）及其弟子是《易传》的作者。再则，马王堆帛书《易》制作于前168年，含有《易传》[3]；而上海博物馆所藏战国楚竹书的制作时间是前255±65年，其中的《易》只有经文而不含《易传》[4]。另外，其他载有洛书名称的文献要么可以确定为西汉或更晚的，要么成书于先秦时期的结论纷纷被否定，如：《〈管子〉“三匡”研究》认为《管子•小匡》中的“昔人之受命者，龙龟假，河出图，洛出书，地出乘黄，今三祥未见有者”具有明显的汉代特征[5]。可见帛书《易传》就是出自田何及其弟子的最早《易传》作品，成文时间介于前206年与前168年间，洛书名称的最初出处是其中的《系辞》。
（二）河图、洛书内容的出处
对于河图的内容，很长一段时间以来、人们的认知一直为《汉书•五行志》中“刘歆以为伏羲氏继天而王，受河图，则而画之，八卦是也；禹治洪水，赐洛书，法而陈之，《洪范》是也”[2]《五行志》所左右，直到北宋道士陈抟（公元?—989年）传出了两幅图案（图1、图2）[6]并引发了“图十书九”和“图九书十”之争，朱熹（公元1130—1200年）、蔡元定（公元1135—1198年）才在《易学启蒙•本图书第一》中仔细梳理了各种证据，最终定论河图、洛书的内容为陈抟所传的“图十书九”图案。
但因《本图书第一》中所用证据“关子明云：河图之文，七前六后，八左九右。洛书之文，九前一后，三左七右，四前左，二前右，八后左，六后右”语焉不详，人们仍对河图、洛书的真实性持怀疑态度。《关朗易学考论》一文深入研究了这一问题，证实“关子明云”之后的内容并非关子明（生卒不详）的言论，而出自关子明所传文献《洞极真经》，该文给出《洞极真经》的二个版本[7]（笔者亦发现一个稍早的版本《北魏关朗拟元洞极真经》，出自钦定《古今图书集成》理学汇编经籍典第一百五卷），不过即使该文献果真传自关子明，以其为根据确定河图、洛书内容的最初出现时间也只能到北魏时期。
但《本图书第一》仍然在确定河图内容出处方面，迈出了非常重要的一步。其“至如河图与易之天一至地十者合，而载天地五十有五之数，则固易之所自出也”表述了传世本《易•系辞》中的以下三段文字：
大衍之数五十，其用四十有九。分而为二以象两，挂一以象三，揲之以四以象四时，归奇于扐以象闰；五岁再闰，故再扐而后挂。天数五，地数五。五位相得而各有合，天数二十有五，地数三十，凡天地之数五十有五，此所以成变化而行鬼神也。
天一，地二；天三，地四；天五，地六；天七，地八；天九，地十。
是故天生神物，圣人则之；天地变化，圣人效之；天垂象，见吉凶，圣人象之；河出图，洛出书，圣人则之。
帛书《易•系辞》含有后两段。朱熹、蔡元定给出的理由是“然初未尝有数也。至于河图之出，然后五十有五之数”[8]684，就是认为河图是“天一”至“地十”,即“天地之数”、是数的起源。笔者认为，因“天地之数”与河图在数的集合、数量总和及表达方式上均相同（天数表示奇数，图案中由空心圆点表示；地数表示偶数，图案中由实心圆点表示），且在同一段文字中前后呼应，再结合文明之源的传说，说明朱熹、蔡元定的判断是合理的。因为朱熹、蔡元定给出的证据和理由都不充分，需进一步揭示数的起源过程、河图在其中的作用及内涵，方能最终定论河图是“天地之数”，但通过朱熹、蔡元定的分析可以初步确定河图内容的出处也是帛书《易•系辞》。
制作于前173年的太乙九宫占盘天盘（图3）[9]中的八个数字与洛书中数的排列方位相同，进而被认为源自洛书。

《大戴礼记•明堂》中的“二九四，七五三，六一八”，被卢辩(?～557年) 以“法龟文”[10]注解，“龟文”即指洛书，二者中太乙九宫占盘出现较早，所以洛书内容的最初出现时间也是西汉初期。
（三）河图、洛书与八卦的关系辨析
之所以有河图、洛书与八卦的关系问题，首先是因为刘歆有“伏羲氏继天而王，受河图，则而画之，八卦是也”的解读；其次，一些文献将洛书与八卦相配。这样会让人产生两种疑问：河图、洛书是否存在不同版本？河图、洛书与八卦间是否有演化关系？进而让人怀疑河图、洛书内容的确定性以至于真实性。为此需要弄清以下几点，才能明白河图、洛书与八卦的关系。
1.文字起源的五种假说。
《说文解字•序》中有“古者包羲氏之王天下也，仰则观象于天，俯则观法于地，视鸟兽之文与地之宜，近取诸身、远取诸物，于是始作易八卦。及神农氏结绳为治而统其事，庶业其繁，饰伪萌生。黄帝之史仓颉，见鸟兽蹏迒之迹，知分理之可相别异也，初造书契”[11]316。这里将文字的起源过程分为三个阶段。由这三个阶段衍生的八卦说、结绳记事说、书契说，和图画说及河图、洛书说一起，被人们称为文字起源的五种假说。
2.产生三种记事方式的时间顺序。
对于书契，研究者们大多认可“书”和“契”分别包含着书写和刻划记事，可能因为颜料和书写工具的限制，书写记事在史前以至于甲骨文时期的应用并不广，同时因为书写与刻划都是以线条组成的图形表意、在记事本质上是相同的，故以下将书写记事并入刻划记事中讨论。研究者们普遍被“初造”二字迷惑，认为结绳记事出现在前，刻划记事出现在后，事实上史前时期三种记事方式是并存的。刻划记事的起源应当比结绳记事更早，因为它更简单、更方便，用树枝或小石子在地面或大石头上刻划都可以完成；在青铜器普及前，刻划工具难以在甲骨、木头等材料上刻划，而在石头和地面上刻划存在着不便于携带、储存的弊病，所以无法大范围的传播，而只能应用于小范围的生产、生活中。结绳记事因为要有绳子、还需要打结并有相应的规则,所以比较复杂；但因其便于携带、储存，适合用于交流及传播，所以能够被用于公共事务之中，“结绳为治”中的“治”字恰当的说明了结绳记事的应用场合。可见结绳记事只是一种过渡方式，在刻划记事具备交流与传播条件后，就以书契形式逐步取代了结绳记事。《中国数学史大系》中有“从西安半坡、姜寨到青海柳湾、山东城子崖等新石器时代中晚期遗址中都出土了数学符号”、“在半坡出土的陶器上有许多刻划符号，其中被辩认出来的数字符号有五、六、七、八、十和二十等六个”[12]，半坡遗址距今约5600～6700年，应当比黄帝及神农氏时代都早。
3.河图原件的产生时代。
《说文解字》记载中结绳记事产生于神农氏时期。笔者认为河图、洛书就是结绳记事的产物，河图的原件产生于神农氏时代。其图案中连接在一起的空、实心圆点是以绳结个数表示的数，为长期保存而刻划于石头之类的材料上，绳结的排列方式有两方面意义：一是表达数的组合关系；二是用疏密相间防止绳子纠结。这样文字起源假说中结绳记事说就与河图、洛书说合二为一了，从知识的角度看，承载河图、洛书原件的媒体并不重要，故本文所说传承指内容传承。
4.八卦与数字的关系。
文献及考古材料均证明在西汉初期之前，八卦是用数字记录的占筮结果。
首先来看文献方面。《汉书•律历志》有“自伏羲画八卦，由数起，至黄帝、尧、舜而大备”和“数者，一、十、百、千、万也，所以算数事物，顺性命之理也”[2]《律历志》，这里八卦只与数字相关，而与阴、阳爻无关，所说的八卦应当是数字，为区别起见可将用数字记录的占筮结果称为数字八卦，其中的数字称为数字爻，将用阴阳爻记录的占筮结果称为阴阳八卦。《说文解字》除用“于是始作易八卦”表达文字的起源外，还用“惟初太始，道立于一，造分天地,化成万物”[11]1表达。两个“始”字表示文字既始于八卦、又始于数字“一”，也证明伏羲八卦应是数字八卦；“天地”当指“天地之数”，间接证明了河图应为“天地之数”。再看考古方面。张政烺（公元1912—2005年）以《试释周初青铜器中的易卦》一文开创了数字卦研究，认为一些青铜器中的“奇字”是用数字记录的占筮结果，之后更多的考古材料显示不同时期的数字集不同，但始终是一至十的子集，一直到西汉初期都是如此。出土的西汉初考古材料中，帛书《易》中用的是一和八；阜阳双古堆竹简中用的是一和六[13]。制作于公元前305±30年间的清华大学藏战国竹简中有一个地支与数字爻的对照表（表1），记录了不同地支所对应的数字爻，证明张先生的数字卦理论是正确的[14]。一些历史、文字学家并不认可半坡遗址中的数字，笔者认为应以上述文献记载结合数字卦的研究结论予以认可。

可见八卦说中的八卦其实是刻划数字，它的出现比结绳记事早，因其中的数字表示占筮结果而非数量大小，是数字的派生应用，所以它不应该是最初的数字。图画不具有读音，也不能精准地表达意识，应是文字形成前的刻划记事方式、当在数字八卦之前出现。故图画及数字八卦的出现都比结绳记事早，在将结绳记事说与河图、洛书说合并，并除去图画说之后，文字起源的过程确是首尾相接的三个阶段，《说文解字》的划分是准确的。
5. 河图与八卦的关系。
弄清了以上四点，河图与八卦的关系就显而易见了，原来它们都是数在发展初期的表现，但产生时间、表现形式和应用范围都不同。所以二者只是相关、而非同一关系，“伏羲氏继天而王，受河图，则而画之，八卦是也”是一种似是而非的解读。
6. 洛书与八卦的关系。
对于刘歆“禹治洪水，赐洛书，法而陈之，《洪范》是也”的解读，孔氏传《尚书•洪范》有“天与禹洛出书，神龟负文而出，列于背，有数至于九，禹遂因而第之，以成九类常道，所以次叙”[15]，证明刘歆所说的洛书也是由一至九组成的，支持朱熹、蔡元定“书九”的结论，再结合数字与八卦的关系表明刘歆所说的河图、洛书应该就是“图十书九”，这样也就证明了河图、洛书并不存在不同版本。但许多人认为成书于战国的中医典籍《灵枢经》，现存版本由南宋史崧（生卒不详）整理而来，其《九宫八风》篇中有两幅图案，一幅含八经卦卦名，另一幅含按洛书方位排列的八个数字，两图中配以相同的节气（图4、图5[16]），这样就形成了“洛书配八

卦”，但《〈灵枢•九宫八风篇〉的九宫图非其所固有》一文认为这种图案出于魏晋之后[17]。《本图书第一》还有子华子（生卒不详）“错以洛书为河图”“故朱子疑其非古书”[8]684的记载。笔者认为出现“洛书配八卦”和“错以洛书为河图”的原因在于，刘歆有“伏羲氏继天而王，受河图，则而画之，八卦是也”在先，但在朱熹、蔡元定定论河图、洛书内容前的一千多年里，河图的内容一直没有被明确、而洛书的内容却很常见，于是人们就以洛书代替河图，还常与八卦相配，这显然是附会，八卦与洛书其实没有任何关系。
综上，先秦文献中只有河图名称。河图内容、洛书名称均出于前206年至前168年间的帛书《易•系辞》；洛书内容的出处为太乙九宫占盘天盘，制作时间为公元前173年，三者集中出现于西汉初的三十几年内，说明河图、洛书在这期间有可靠的传承。虽然河图、洛书的内容有多种表现形式，但并不存在不同版本；与八卦间也没有演化关系，其内容是确定的。刘歆的解读是之后衍生一系列混乱的总根源，“刘歆以为”四字表明《汉书》作者对刘歆的解读持怀疑态度，刘歆如此解读的动机需另行探讨，这里仅以西汉初为时间上的入口向前追溯河图、洛书的传承途径。
二、河图、洛书的传承途径考
既然河图、洛书的内容都是数，且朱熹、蔡元定认为河图与数的起源相关，为此可以考查一下我国数学文献的传承。《九章算术》是我国最早的传世数学文献，魏晋数学家刘徽（约公元225—295年）在《九章算术•序》中说“往者暴秦焚书，经术散坏。自时厥后，汉北平候张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补”[18]，说明张苍（公元前256—前152年）是该书最早的整理者。据《史记•张丞相列传》中“张苍为计相时,绪正律历。……故汉家言律历者，本之张苍”，据此可推定与《九章算术》成书时间大致相当、但传承者不详的《周髀算经》也与张苍相关，因其内容主要是用于历法计算的，故张苍是我国有记载的、数学文献传承的第一人。
《张丞相列传》中还有“秦时为御史，主柱下方书”“是时萧何为相国，而张苍乃自秦时为柱下史，明习天下图书计籍。苍又善用算律历，故令苍以列侯居相府，领主郡国上计者”“自汉兴至孝文二十余年，会天下初定，将相公卿皆军吏”“苍为丞相十五岁而免”[1]《张丞相列传》等记载。《史记•萧相国世家》中有“何独先入收秦丞相御史律令图书藏之。……汉王所以具知天下阸塞，户口多少，强弱之处，民所疾苦者，以何具得秦图书也”[1]《萧相国世家》。所以张苍既是秦朝最重要的文献管理者，也是汉初接触过这些文献的极少数人之一，还是第一位文职出身的长任期丞相，说明他是秦、汉间最重要的文献传承人和汉初文化建设最重要的领导者、参与者。
在《尚书》的记载中，河图是周康王即位时的陈列品，它有没有被传承至秦朝呢？《史记•周本纪》中有“五十九年，秦取韩阳城负黍，西周恐，倍秦，与诸侯约从，将天下锐师出伊阙攻秦，令秦无得通阳城。秦昭王怒，使将军摎攻西周。西周君奔秦，顿首受罪，尽献其邑三十六，口三万。秦受其献，归其君于周。周君、王赧卒，周民遂东亡。秦取九鼎宝器，而迁西周公於狐。后七岁，秦庄襄王灭东周。东西周皆入于秦，周既不祀”[1]《周本纪》；“九鼎”是夏代文物的代表，证明不仅周代文物传到了秦朝，三代以至于更早的文物都可能传到了秦朝。只是到西汉时河图、洛书已是古董，需要专业人员才能辨识与解读，以张苍的履历结合河图、洛书的出处和时间，说明出于西汉初期的河图内容、洛书名称和内容都是经由张苍的解读而形成的。
既然出现于西汉初的河图、洛书内容都是数字，为什么还会出现用实心、空心圆点及连接线表示的图案呢？李约瑟在《中华科学文明史》中因《史记•秦始皇本纪》中的“燕人卢生使入海还，以鬼神事，因奏录图书，曰‘亡秦者胡也’”[1]《秦始皇本纪》而认为是方士卢生（生卒不详）把河图、洛书传入了民间[19]；一些谶纬学说的研究者也认为“录图书”包含了河图、洛书，如《谶纬名义论综述》[20]等，这些说法目前没有直接证据。不过从这两幅图案具备结绳记事的特征、道士与方士间有传承关系、其洛书图案与《大戴礼记•明堂》中的数字排列吻合看，这些说法是合情合理的，所以在卢生、谶纬学说至陈抟间存在着河图、洛书的另一条传承途径，这一途径因未经解读而保留有结绳记事特征。
三、结语
综上，周灭亡前，河图、洛书由周王室保存着，在“秦取九鼎宝器”时传入了秦朝，并于秦末形成两条分支，一条经由“秦图书”传入西汉朝廷，经张苍解读而公之于众；另一条经由方士卢生传入民间、衍生出谶纬学说并传至陈抟。这样就从传承途径上证明了河图、洛书的真实性，解决了它们“从哪里来”的问题，但更重要的是确定二者的内涵，即它们“是什么”。本文证明作为文字源头的八卦其实是数字，数字八卦与河图、洛书交于一至十，数字是文字的子集，所以我们在探讨文字起源时，应该从泛泛的文字这个大范围缩小到数字一至十这个小范围，也应该从这个方向探讨河图、洛书的内涵。又由于数字是抽象思维、尤其是数学思维发展的产物，故在探讨河图、洛书内涵时应该以数学思维为主导、兼顾文字学并注重运用推理的方法，所以本文也为研究河图、洛书的内涵，确定了大致的方向、方法和范围。

老夏 · 发表于 2021-1-18 10:13:25

河图、洛书数学内涵考

摘要：《汉书•律历志》将一至万的发展分为“由数起”和“大备”两阶段。结合各方面证据可确定“由数起”阶段只产生了个位、十位数字。河图是《易•系辞》中的“天地之数”，内涵是一至十的顺序排列，作用是作为标准向公众推广一至十这些数的概念及数数的计算方法。“大备”阶段，“百”字的出现形成了位值制的雏形，洛书是《易•系辞》中的“大衍之数”,它伴随着“千”字出现，内涵为加法的进位规则集，洛书的出现也标志着加法的形成。
关键词：河图；洛书；数数；加法；十进位制

被视为中华民族文明之源的河图、洛书，人们只能大致确定其内容为数，而不知道其确切内涵。另在文字起源的假说中虽然包含河图、洛书说，但人们却无法确定河图、洛书的具体作用，这导致许多人视河图、洛书为神话和传说，甚至怀疑它们的真实性。《河图、洛书的传承途径考》提出了数字八卦概念及三种记事方式并存的理论，从传承途径上展示出河图、洛书真实可信的一面，并确定应在数学和文字学上考证河图、洛书的内涵[1]。鉴于问题复杂，笔者先以本文从数理哲学角度剖析河图、洛书最为基础与核心的内涵，消除人们对河图、洛书真实性的怀疑；之后再另行撰文结合乾坤、象数、书契等概念，剖析河图、洛书在文字起源过程中的具体作用。为此应回顾一下前人在数学上解读河图、洛书内涵的历史，以缩小研究范围并找到科学合理的研究方法。
一、前人在数学上解读河图、洛书内涵的历史
南宋朱熹（公元1130—1200年）、蔡元定（公元1135—1198年）认为，河图是传世本《易•系辞》中的“天地之数”，即“天一地二，天三地四，天五地六，天七地八，天九地十”[2]683-689，是数的起源，这一解读有道理但需进一步考证。南宋杨辉（生卒不详）解读河图为纵横图，洛书为三阶幻方[3]。他对河图的解读除数字游戏的功用外，无实质性用途，基本没人认可；但对洛书的解读，由于所用数字组合是一种客观存在，在众多解读中获得了最多认可。笔者认为杨辉的结论不能成立，因为我国古文献中没有记载幻方的应用，幻方在宋代之前不具实用性，包含幻方的矩阵属于近现代工程数学中的应用，所以从实用性的角度看，幻方不具备文明之源的特征。李约瑟（公元1900—1995年）也提出过质疑，他说“在13世纪以前，幻方的发展明显地与数学思想的主流相分离”[4]23。
清李光地（公元1642—1718年）有“河图加减之原”“洛书乘除之原”[2]786-787的结论。只是李光地给出的数字组合相当牵强，使得他的结论无人认可。并且在不能整除时需要有分数才能完成除法运算，所以分数必然先于除法出现，《左传•隐公元年》中的“大都不过三（分）国（都）之一”被认为是文献中最早的分数，出土文物商鞅量中有类似文字，这种类似分数的文字未脱离对具体事物如“国（都）”进行分割的情形、是否抽象至数的层面尚不确定。稍晚的清华简《算表》中出现了用单个汉字表示的分数，用两数组合表示、分子大于等于二且不与具体事物交织的分数在秦简中才出现，说明分数成熟、除法出现的时间应较晚，而乘除法互逆、二者应是相伴产生的，这样就将“洛书乘除之原”排除了，详情笔者将另行撰文剖析。
二、考证河图、洛书数学内涵的方法与范围
但李光地的解读中，加减乘除的基础性、实用性与文明之源的特征相符，且它们的产生年代久远以至于难以查证，也可能与河图、洛书的出现时间相符。所以李光地的解读具备一定的科学性，我们应该坚持他这种注重基础性、实用性的研究方法，并结合近年考古学、文献学的研究成果，更加科学合理地解读河图、洛书的内涵。
最基础的数学是正整数概念，我国一直延用的正整数属十进位制正整数，可立足于数字变化追溯其发展历程。吴文俊（公元1919—2017年）认为“十进位位值制记数法是中华民族的创造，是世界上绝无仅有的独特创造”，“这一记数法最迟在《九章算术》成书时（公元1世纪）就已十分成熟；而在外国，印度也是最早在6世纪末才出现”[5]。十进位位值制记数法简称十进位制，包括十进制和位值制两种规则，十进制规则即满十进一规则；位值制规则是指同一个数在不同位置上表示的数值不同，如1314中，前边的1表示一个103,即一千，后边的1表示一个101，即一十。“甲骨文中首次出现‘百’、‘千’、‘万’三个数名，形成了较为系统的十进制”[6]144，李约瑟依据甲骨文中的这些数字也倾向于十进位制产生于中国[4] 23，对这些数字的产生过程，《汉书》中有更为具体地记载。
《汉书•律历志》载有“自伏羲画八卦，由数起，至黄帝、尧、舜而大备”、“数者，一、十、百、千、万也，所以算数事物，顺性命之理也”[7]《律历志》，将一至万的发展分为“由数起”和“大备”两阶段。至于两阶段各产生了什么数字，因为数必然是由小到大、逐步积累着发展，结合数字八卦是一至十的子集，河图也只包含一至十，且个、十位数字出现于史前考古材料中，百、千、万首现于甲骨文中，表明“由数起”阶段应当只产生了个、十位数字。与“大备”相对应，传世本《易•系辞》有“大衍之数五十，其用四十有九”，以往的解读虽能凑出五十，却都体现不出“大衍”功能，因“天地之数”、“大衍之数”与“河出图，洛出书”前后呼应，既然朱熹、蔡元定推测河图为“天地之数”，顺此可推测洛书为“大衍之数”，再寻求证据支持这种推测。
静态的数字仅表示记数结果，它们必然对应着一定的动态计算方法，动静结合才能全面深入剖析数的发展历程。“正如加法是代替较为繁重的数数求答案的办法一样，乘法是加法的简化，它把许多加数‘叠在一起’”[4] 25,数数和加法是较乘法更为基础的计算方法，数数亦称计数，即数事物个数的过程，逐个地计算事物个数称为逐一计数，按几个一群计数称为分群计数。因上文已排除乘除法，故与河图、洛书对应的计算方法应仅限于数数和加减法。
三、“由数起”阶段，数的发展历程及河图的内涵
下面详细考证“由数起”阶段个、十位数字的发展历程，在此过程中使用的计算方法及河图所起的作用，进而得出河图的内涵。
（一）数字在文字起源过程中的先导作用
数字先于其它文字产生。宋朝已有“书始于契，契以纪数，故首数”[8]的结论；于省吾（公元1896—1984年）也有“虽然几个积画字（注：指一、二、三、四）极其简单，但又极其重要，因为它是我国文字之创始，后来才逐渐发达到文字纪事以代表语言”[9]97。其实东汉文献已经清楚地记载了这一点，《河图、洛书的传承途径考》所引《汉书•律历志》的“自伏羲画八卦，由数起”；《说文解字》的“惟初太始，道立于一，造分天地,化成万物”、“古者包羲氏之王天下也，仰则观象于天，俯则观法于地，视鸟兽之文与地之宜，近取诸身、远取诸物，于是始作易八卦”，证明东汉时人们知道八卦曾是用数字记录的占筮结果、为文字的起源。“在半坡出土的陶器上有许多刻划符号，其中被辩认出来的数字符号有五、六、七、八、十和二十等六个”[6]130，表明考古发现的最早文字是数字、也支持这一结论。人们之所以迷失了这一认知，是因为后来数字八卦被阴阳八卦取代了。《汉书•五行志》载“董仲舒治公羊春秋,始推阴阳”[7]《五行志》，表明是董仲舒（前175—前104年）开始以阴阳结合五行解释灾异的，这是阴阳八卦产生的前提。《汉书•儒林传》载 “喜好自称誉，得易家候阴阳灾变书，诈言师田生且死时枕喜膝，独传喜，诸儒以此耀之。……上闻喜改师法，遂不用喜”、“京房受易梁人焦延寿。延寿云尝从孟喜问易。……房以明灾异得幸，……由是易有京氏之学” [7]《儒林传》，可见应是孟喜（生卒不详）开启了数字八卦向阴阳八卦转化的历程。
在人们彻底忘记数字八卦后，就再也无法理解为什么文字既始于八卦、又始于数字“一”了，于是段玉裁（1735—1815年）就将“惟初太始”改为“惟初太极”[10]1，孙诒让（1848—1908年）在《名原•原始数名弟一》中引用了这一说法并以“盖文字生于形，而书契之作，上原卦画,下代结绳,又以纪数为尤重，合形数以纪物，由一而兹为万”[11]1表达了他所理解的八卦、文字及数字间的关系，“上原卦画”表明他认为文字起源于阴阳八卦。这是文字学家们的普遍认识，除错误理解了八卦与数字的关系外；还忽略了原始数字有比八卦更为深远的源头，因为记录占筮结果是数字的派生用途、而非本义，这从原始数字的构造方式中可以得到验证。
（二）数字的原形
拱玉书等认为“这种原始的数字大多是通过描绘原始记数工具的途径，即后来所谓的象形手段造成的。数原是由万事万物䌷绎出来的抽象概念，但数字本身却是记数工具的具象表达”[8]190,所以确定最原始的记数工具是什么，对探讨原始数字的构造方式、以至于文字的起源都非常重要，许多人认为最原始的记数工具是算筹。但若假定产生原始数字时的计算方法是数数（下文将予以验证），结合产生的结果十进位制来推断，最原始的记数工具应该是手指和人，原因有二：
一是人与手指的干枝关系是形成十进位制的基础。用算筹虽能数出大小，但数至多少形成更大的数量级是不确定的，基数恰好为十是小概率事件；而正常人都有十根手指，以手指和人作算具，基数为十是必然事件。在数十及以内的数时手指与算筹是等价的，用手指方便得多，人们自然是以手指来数数；相反若不立足自身条件而另行引入算筹，容易让受众误会，以为是在表达相应数量的算筹。站着的人，最简形象就是一条短竖线与原始的数字十相符。
二是“近取诸身、远取诸物”是使用象形手段选取原形的方法，因为舍近求远不是一种科学合理的方法，所以一与十的原形应属“取诸身”范畴；运用孙诒让的偏旁比较法对比甲骨文与金文中的百、千、万，它们原形的发展趋势也能体现这一点：
百的原形。对比甲骨文中的百、和金文中的百、，因金文中数字百的中间部分是“人”字，表明甲骨文中对应的部分也是“人”字，和外面的圆圈一起表示一圈人，属于“取诸身”的方式。百的定义是十个十，由一圈人构造十个十的方法有两种：一是以十人为一组，由十个组组成百；二是因每个人有十根手指而由十个人组成百，因第二种方法简单、自然、可操作性强，所以百的原形应是十个人。
千的原形。甲骨文中的千及金文中的千都是由一个立起来的人字加一条短横线构成，这种人字符合“人首”的特征[12]，所以千字应是用人的头发表示的数量，也属于“取诸身”的范畴。
万的原形。综合甲骨文及金文中的万字字形（图1、图2）[6]144，可认定甲骨文中万的原形是像鹿一类、四蹄带角动物的兽首，顺承定义千的方法以其头部毛发数量表示万；多数金文相对于甲骨文补充了兽的身体和两腿，由甲骨文的头像演化为侧面像，文字学上称这种现象为繁化。《说文解字》释万为“虫也”[13],于是一些字典及数学史书籍中认为万的原形是蝎子，但图1、图2中的一些万字在可能的蝎钳部位是三叉的，足以否定这种说法；还有人将万、虿相提并论，而虿即表示蛇、蝎之类的毒虫，但《说文解字注》对虿的解释有“其字上本不从萬，以苗象其身首之形”[10]1157，表明万、虿本来没关系，《说文解字》对万字的解读应该有问题，万的原形与蝎子没关系。

可见“取诸物”是在“取诸身”无法表达时才使用的手段，所以一与十的原形应是手指和人，虽然这里人在文字上有十字和人字两个像，但它们产生于不同时代、表示不同意义，是合理的。因借以产生百、千、万的事物并未参与记数过程，所以将它们与产生一与十的“原始记数工具”一起统称为数字的原形更合适。
（三）一至九最初的字形结构
史前陶器及甲骨文中一至四的字形结构，被于省吾、孙诒让等人称之为“积画”，就是以相同的笔划逐一叠加的方式造字，于省吾还认为“凡纪数字均可积画为之，但积至四画已觉其繁，势不得不化繁为简”、“我国古文字，当自纪数字开始，纪数字乃古文字中之原始字。纪数字由一至九分为二系而五居其中。由一至四，均为积画，此一系也；由五至九，变积画为错画，此又一系也”[9]97，孙诒让仔细分析了甲骨文及之前的五至九，认为七是“承五而小变之”、九是“承七而小变之”、八是“承六而小变之”，“盖六之与八，七之与九，皆间一数，相对为形”[11]1，说明这五个数字的构造非常规整；同时由两划错画的五至九笔划数少于积画的三和四，与以象形方式造字的逻辑不符，所以错画的五至九应是由积画形式一次性简化而来（注：半坡遗址中五由两划错画而成，甲骨文在上下各加一横，存在繁化情形，甲骨文中也还存在积画的五），这次简化才是“于是始作易八卦”的由来，这也应该是文字的首次简化和派生使用。
（四）原始的计算方法
积画的字形结构蕴含着原始的计算方法，以下两项事实可以证明这一点。一是“由数起”阶段不仅个位数字是积画的，十位数字也是积画的，不过是以短竖线积画的，甲骨文中有这样的十至四十（图3）[6]145，里耶秦简中仍有积画的四十，廿、卅是积画方式的遗存，因一至四、十至四十都是积画的，就从侧面印证了于省吾“凡纪数字均可积画为之”的论断；这种字形上笔划的逐一叠加体现了逐一递增的数数方式，是“形与神俱”的表现，亦即积画的字形结构是人们用数手指和人的个数的方式来计算数量的表现。二是百字的出处为甲骨文、十字的出处为半坡遗址，时间跨度近3000年，即使将数字百的出现时间提前至《汉书•律历志》记载的黄帝时代，时间跨度也非常大，说明“由数起”阶段的计算方法是低级的，它也应该是数数。二者共同印证了李约瑟关于数数、加法及乘法发展规律的论述。“由数起”阶段的记数范围应主要集中于个、十位数，超出时仍用十与一的积画表示，后期应出现过在十个十上加圈的分群计数模式，为数字百的出现准备了条件。

（五）文字的两种属性
文字学家们对文字产生前的图形符号称谓很多，如图画、文字画等，其实可以简单地称之为形符，表示它们是形状相对固定的符号，那么形符具备什么样的属性才能演化成文字呢？综合考虑，形符必须具备两种基本属性才能成为文字。一是可读性，即形符首先要完成与语言的结合，有特定读音，具备音、形、意三要素才能成为文字，这时它才脱离图形范畴，结合前，形符只是以形表意、语言只是以音表意。二是公众性，在结合后形符还要被用于公共事务之中，被公众认知和使用才能成为社会治理和公众交流的工具。不可否认，文字的发展有一定自由度，尤其在其起源阶段，人们可以随意创造形符，但要让公众认知和使用就必须经由权威的方式来收集整理、规范发布或率先使用，这是文字由小范围使用向大范围推广的必经程序，在文字发展的关键期更应如此。如计算机信息技术中的GB18030-2005（《信息技术中文编码字符集》）；秦统一时的《仓颉》等，都是以权威的方式规范文字。所以初造书契是必然事件，它是文字的两种属性在刻划记事中结合的开端。
（六）河图所起的作用及其内涵
那么在书契之前文字的这两种属性又是如何发展的呢？笔者认为：可读性首先在积画数字中形成，这由数字的抽象性和重要性决定。抽象性：演化为象形文字并有原形可对照的形符，见到形符就能明白其含义，读音对于表达这类形符不是必需的，所以音与形的结合不会从这类形符开始；数是抽象的，本无原形，为表示数而引入的原形与数本身并非同一概念，必需标识出来，用语音来标识最为方便，这样就形成了有读音的数字。重要性：人们在进行物质分配与交换时，首先需要度量物质的大小多少，这时就必须用到数的概念，由于人类最初的社会交往都是基于物质分配和交换的，所以数是人类社会交往的基石，记数法也就成为人类社会的第一标准，这从当今世界语言、文字远未统一，而十进位制却早已普及得到验证，这也是数字先于其它文字产生的原因。
公众性首先是以河图来实现的。虽然已经有了刻划数字，但在青铜器普及前，刻划数字不能大范围传播并用于公众交流和社会治理之中，而社会的发展又急需将数的概念用于公众交流及社会治理中，于是就出现了结绳记事，“及神农氏结绳为治而统其事”说明结绳记事从诞生开始就担负了“统”与“治”的功能，即公众性，但结绳记事也需要标准和规范，河图就是作为标准或规范出现的，它与GB18030-2005、《仓颉》类似，它出现的目的是为了让公众认知和使用一至十、以及数数的计算方法。但由于结绳记事的优势非常片面，刻划数字必然伴随河图传播，河图的出现会促使刻划记事的使用范围扩大、形符的数量增多，这为十进位制及文字的进一步发展奠定了基础。所以河图的内涵只是一至十的顺序排列，其中的数无组合关系，朱熹、蔡元定认为河图为“天地之数”的结论是正确的。
四、“大备”阶段，数的发展状况及洛书的内涵
（一）“大备”阶段，数的发展状况
对于数在“大备”阶段的发展，《世本》载有黄帝的史官“隶首作数”[14]。《河图、洛书的传承途径考》证明《汉书•五行志》中刘歆（前50—23年）对河图、洛书的解读似是而非，因为他解读的主要成份：八卦与河图、洛书与《洪范》的关系有假，但有一定真实成份，如河图、八卦都在一至十的范围内，洛书与《洪范》都与一至九相关，人们也基本认可洛书出自大禹时代，这个时代属于数的“大备”阶段。笔者认为隶首创造了数字“百”，洛书是伴随着数字“千”产生的。理由是：
习惯。到百这一数量级时，逐一计数和分群计数仍能满足记数需求，但已经很吃力了；到千时这种方式所存在的费时、易错等弊病则表现得非常突出，到了不得不改变的程度。
数字百出现后，才具备使用进位规则的条件。在文字学上，积画的个位数字是算具的简单象形，积画的十位数字与算具间既有象形成份，也有象意成份，而原始的数字百却是纯粹的象意文字，定义数字百时人们才走出以象形方式造字的思维局限，为定义千和万准备了条件（注：这里用唐兰的三书体系，即象形、象意与形声表述文字的基本构造方式）。在数学上，伴随数字百才产生数位（以下简称位）概念和递推思想，原始的十与一间是自然的干支关系而不具备位的思想；数字百“十个十”的定义才确立十的基数地位、形成位的概念，甲骨文中位和值是写在一起的，如图1中的30000由万与三合成，文字学上称这种现象为“合书”，唐兰认为合书是形成形声字的基础[15]，位间用有、又连接，这是位值制的雏形，经过漫长的多次变革才形成今天的位值制。递推是位间关系的纽带，表现在数名定义上，千的定义十百，万的定义十千，都是从百的定义十十递推而来。可见数字百承前启后，有了它才可能产生进位思想和进位规则。
（二）洛书的内涵
在正确解读出洛书中数的组合关系后，将其与加法进位规则集比较可知，洛书中数的组合是原初形态的加法进位规则集，洛书确为具有“大衍”功能的“大衍之数”。
1.洛书中数的组合关系
据太乙九宫占盘天盘中“君”与“百姓”、“将”与“相”的组合关系[16]得到其中的数字组合关系应是1+9、2+8、3+7、4+6。对此彝古文《青线、红线与二十四节气》中关于洛书的描述“天一与天九,在宇宙的南、北两方，管理着这两门，合起来一共是十，人们称它为老阳。天三与天七,在宇宙的东、西两方,管理着这两门，合起来一共是十，人们称它为少阳。地二与地八，在宇宙的东北、西南两方，管理着这两门，合起来一共是十，人们称它为老阴。地四与地六,在宇宙的西北、东南两方,管理着这两门，合起来一共是十，人们称它为少阴。天五生成宇宙,管理着中央，两个五加起来也是十，福禄不断洒满宇宙之间”[17]加以印证并补充了5+5，所以洛书是用相对表示相加，五与自身相对故只出现了一次，其中数的组合关系为1+9、2+8、3+7、4+6、5+5；它们的和为五十，与“大衍之数”的值相同。
2.洛书中数的组合与加法进位规则集的对比
对于这种组合的功能，《珠算教程》给出了两种常用的珠算加减法：传统口诀式加减法和凑五补十加减法。凑五补十加减法中的进位规则为补十规则，即1+9、2+8、3+7、4+6、5+5与洛书一致。口诀式加减法中的进位规则有进十加口诀及破五进十加口诀：进十加口诀因区分加数和被加数的位置而由洛书的五条扩展为九条，5+5与“五去五进一”对应，余下四条分别对应“进十加”口诀中的两条，如1+9对应“一去九进一”和“九去一进一”；破五进十加口诀是因为算盘用梁上的一个算珠表示数量五而对进十加口诀作出变通生成的新规则[18]，李约瑟据《孙子算经》及《夏候阳算经》证明算筹中已经使用了以一代五的方式[4]4，可见以一代五方式很早就出现了。
也有不使用以一代五方式的加法进位规则。《中国数字史大系》中有一个例子：羌族老人用黄豆、玉米、大白豆、洋芋数量分别表示个、十、百、千位上的数量做加法，被加数是3456，加数是2138，把代表相同位的东西放在一起数数量，因只有黄豆数量超过10，他就用一颗玉米换出十颗黄豆，得到结果5594[6]140，这里不考虑加数与被加数位置关系也不使用以一代五方式，选取黄豆的数组合是洛书的组合之一，进位规则与洛书处于同一发展水平。
综上，洛书中数的组合与羌族老人使用的进位规则一致，是原初形态的加法进位规则集，之后的进位规则集，因算具出现了以一代五方式、并区分加数和被加数的位置关系而有所发展，但实质仍然是洛书中的数组合，它们就是正整数范围内“满十进一”的十进制规则的全集，为突显其功用和产生时间而称其为加法进位规则集，这就是洛书的内涵。进位规则是处理两数相加有进位时的位间关系的，并不处理没有进位及进位后余下的数，珠算中用口诀“一上一、二上二、…………九上九”来处理，这是河图对应的数数方式。所以洛书的出现才标志着加法的产生，加法相对于数数在便捷性、运算速度及记数范围上都有质的飞跃，洛书确是具有“大衍”功能的“大衍之数”。
3.“其用四十有九”的含义
对此，《汉书•律历志》还有如下记载：
其数以易大衍之数五十，其用四十九，成阳六爻，得周流六虚之象也。夫推历生律制器，规圆矩方，权重衡平，准绳嘉量，探赜索隐，钩深至远，莫不用焉。度长短者不失毫厘，量多少者不失圭撮，权轻重者不失黍累。纪于一，协于十，长于百，大于千，衍于万，其法在算术。
“大于千，衍于万，其法在算术”印证了上文的部分论断，据此还可以推断出“其用四十有九”的含义应是“洛出书”之后一段时间内记数范围止于万位，这时做加法，个、十、百、千位考虑进位各用十个算具，万位不进位故只需九个算具。《汉书•律历志》还载有刘歆对“大衍之数”的解读“是故元始有象一也；春秋二也；三统三也；四时四也；合而为十，成五体。以五乘十，大衍之数也。而道据其一，其余四十九，所当用也，故蓍以为数” [7]《律历志》，这也是一种真假参半的刻意曲解。另《后汉书•律历志》载有“其后刘歆研机极深，验之春秋，参以易道，以河图帝览嬉、洛书乾曜度推广九道”[19]，证明刘歆针对河图、洛书有一系列精心策划的造假行为，这是产生河图、洛书真实性问题的根本原因。
五、结语
综上，河图、洛书分别是《易•系辞》中的“天地之数”和“大衍之数”。河图的内涵是一至十的顺序排列，洛书的内涵是加法进位规则集，二者承载了正整数从一至万、计算方法从数数到加法的发展历程，这样就确切展示出河图、洛书最为基础与核心的内涵，证明河图、洛书不是神话和传说，而是具有深厚科学内涵的文明成果。河图、洛书的伟大在于其基础性和根源性，大道至简、人类最伟大的发明就是数的发明，八卦与河图是文字和数学的双源头，洛书的出现标志着人类文明走出了原始状态，八卦与河图、洛书承载了中华文明最为艰难的起源过程。厘清刘歆针对河图、洛书的造假行为，也为全面破解刘歆文献造假问题提供了切入点。
全面梳理人类文明起源和传播过程，或许还能证明八卦与河图、洛书为人类文明的总根源。在埃及学、亚述学类著作中有数的其他起源，但这类学说只有两百年左右，故这类著作很晚产生，这些起源途径来历虚幻，可能是臆造的。“公元595年，印度发明了十进制”[20]（注：应为十进位制），表明西方学者认为十进位制源自印度。“820年，阿拉伯阿尔•花剌子模发表了《印度计数算法》，使西欧熟悉了十进位制”[21]，十进位制经印度、阿拉伯世界传入西方众所周知。计算机技术中使用二、八及十六进位制，但用0和1表示的二进位制1679年才产生。有0才有进位制理论，罗素在《数理哲学导论》中称“说到0，这是更加晚近加入的，希腊人和罗马人没有这个数字”[22]，有人认为0基于道教的“虚”产生于中国，但佛教有类似的“空”，目前0产生于印度的证据较充分，0用有形的符号表示无形的空位，它的形成是人类抽象思维的又一次大跨越，当产生于位和进位概念之后，且印度数字没有积画特征故不是最原始的数字，印度记数法应是在河图、洛书基础上进一步发展的。可见早期记数方法还有许多值得深入研究的地方，深入研究应能准确、快捷地找到早期文明的真实传播轨迹，区分真、假早期文明史，或许还能证明八卦与河图、洛书为人类文明的总根源。